Юрий Иванович Казаков родился в Архангельске в семье известного профессионального баяниста Ивана Константиновича Казакова.
Обстановка в семье способствовала развитию проявившихся в ранние годы незаурядных музыкальных способностей Юрия. Уже в 14 лет он стал участвовать вместе с отцом в концертах Северного русского народного хора, обращая на себя внимание архангельских любителей музыки. В 1939 г. на конкурсе «Юные дарования» в Архангельске он получил первую премию (100 руб.). Юный баянист замечательно выступил на второй олимпиаде детского художественного творчества Архангельской области в 1940 г.
С начала Великой Отечественной войны (с 1942 г.) Юрий Казаков — на действительной военной службе. Всего ему довелось провести около 600 «военных» концертов. После демобилизации Юрий Иванович Казаков возвращается в родной город и до 1954 г. является солистом литературно-музыкального лектория Архангельской филармонии, сообщается на сайте "Культурное наследие Архангельского севера".
В 1948 году Ю. И. Казаков начал музыкально-педагогическую деятельность — стал преподавать по классу баяна в Архангельском музыкальном училище.
В период с 1954 по 1959 гг. Ю. И. Казаков продолжал заочное образование в Московском музыкально-педагогическом институте им. Гнесиных: по классу баяна у профессора-композитора Н. Я. Чайкина; по дирижированию — у профессора Н. П. Иванова-Радкевича; у профессоров-пианистов Е. Ф. Гнесиной и М. В. Юдиной.
В 1954 году Юрий Иванович стал солистом Московской государственной филармонии.
В середине 50-х годов талант Ю. И. Казакова был признан в нашей стране и за рубежом. В 1955 году ему было присвоено звание лауреата премии Международного конкурса Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Варшаве, вручена золотая медаль, также он был награжден грамотой ЦК ВЛКСМ.
Идея Юрия Ивановича Казакова о создании баяна новой конструкции — готово-выборного многотембрового — материализовалось в содружестве с московским мастером Ф. Фигановым и одним из лучших тульских наклепщиков баянных голосов Н. Селезневым. В 1951 году, за 18 месяцев, был изготовлен новый баян, весивший 18 кг, стоимостью 18 тыс. руб., побывавший впоследствии со своим хозяином в 18 странах мира. Он произвел настоящую революцию в баянном деле. Этот инструмент отвечал всем требованиям, необходимым для исполнения классических музыкальных произведений.
После напряженной работы над освоением нового инструмента Ю. И. Казаков исполнил на нем «Концерт для баяна с симфоническим оркестром» Н. Чайкина. В репертуар баяниста вошли классические произведения «Органная токката и фуга» И. Баха, «Органная фантазия фа минор» В. Моцарта, «Этюд до-диез минор» Ф. Шопена, «Каприччио» Ф. Листа, «Анданте-кантабиле из первого струнного квартета» П. И. Чайковского и др. Их исполнение стало новым явлением в истории баяна.
Первая демонстрация нового баяна состоялась «в стенах Архангельского музыкального училища, а зал был полон людьми и успехом!» (из письма Ю. И. Казакова).
С середины 50-х годов Юрий Иванович Казаков активно занимается концертной деятельностью. В отдельные годы количество выступлений доходило до 200! Его баян звучал от Калининграда до Диксона, Курил и Чукотки; на новостройках, целине, стоянках геологов... За выступления перед целинниками в Казахстане ему были вручены три медали «За освоение целинных и залежных земель» — в 1958, 1961, 1965 гг.
В 1957 году состоялся первый концерт Юрия Ивановича Казакова в зале Московской консерватории. Он стал событием в музыкальной жизни страны. Взыскательная музыкальная общественность убедилась, что баян является достойным представителем академического музыкального искусства.
У новатора баянного искусства появились многочисленные последователи. Среди них — лауреаты международных конкурсов В. Галкин, В. Бесфамильнов, А. Беляев, А. Полетаев...
Зарубежные гастроли Ю. И. Казакова начались с 1954 г. Он выступил в Англии, Бельгии, Финляндии, Норвегии, Исландии, Польше, Чили, Венесуэле, Мексике, Франции и других странах. Впечатления публики от его выступлений были восторженными. Новый русский баян открывал красоту народной и классической музыки миллионам людей планеты.
10 декабря Юрий Казаков отметил 60 лет творческой деятельности, а 17 декабря года мэр Виктор Павленко подписал постановление о награждении общественного музыкального деятеля, баяниста Юрия Казакова нагрудным знаком «За заслуги перед городом Архангельском». Музыкант удостоен нагрудного знака за большой лучный вклад в социально-культурное развитие Архангельска, пропаганду русской музыкальной культуры и активную общественную деятельность.
В министерстве культуры правительства Архангельской области корреспонденту "Двины-Информ" сообщили, что мероприятий, связанных с юбилеем знаменитого баяниста, в регионе не запланировано. То же самое ответили и в Архангельском музучилище.