После окончания шестого класса соломбальской школы № 46 в 1943 году, Анатолий Васильевич поступил во второе фабрично-заводское училище при заводе «Красная Кузница» (ныне профессионально-техническое училище № 9 имени Героя Советского Союза С.Н.Орешкова).
В 1945 году, после окончания училища, был направлен на судоремонтный завод «Красная Кузница» судосборщиком III разряда. В 1952 году возглавил бригаду судосборщиков и бессменно руководил ею более тридцати лет. Его бригада участвовала в подготовке первой советской антарктической экспедиции, занимаясь переоборудованием дизелей — электроходов «Обь» и «Лена». В 1971-1974 годах бригада принимала участие в строительстве уникального плавдока подъемной силой 5000 тонн, затем — в постройке судна «Вавчуга», которое благодаря мелкой осадке могло подходить вплотную к берегу, что очень важно было при доставке грузов в поморские деревни.
Сидоровскому удалось организовать сплоченную бригаду, показывающую высокое качество и темпы труда, творческое отношение к делу. Бригада трижды была участником ВДНХ СССР, неоднократно заносилась в Книгу Почета округа, города и области.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июля 1966 года Анатолию Сидоровскому присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
В последние годы жизни передавал свой опыт учащимся ПТУ № 9 имени Орешкова. Он автор более 60 рационализаторских предложений, многие из которых реализованы на практике.
Принимал активное участие в общественной работе. Был депутатом Областного Совета 11, 12, 13, 14 созывов и депутатом Городского Совета 15, 16, 17, 18 созывов. Избирался делегатом XIV съезда профсоюзов СССР (1968), делегатом XI съезда профсоюзов рабочих морского и речного флота (1982). Был членом ЦК профсоюзов рабочих морского и речного флота.
21 февраля 1984 года Анатолию Васильевичу было присуждено звание Почетного гражданина города Архангельска. Скончался Герой труда 7 марта 1989 года. Похоронен на Жаровихинском кладбище Архангельска.
В январе 1991 года имя Сидоровского присвоено плавучему доку М-32. Мемориальная доска с именем Героя установлена в центре города Архангельска на стеле «Почетные граждане города Архангельска».
