Максим Аренсон родился в 1903 году, в семье архангельского купца, любителя музыки. Как все его братья и сестры (в семье было семеро детей), получил музыкальное образование.
После окончания училища (ныне 4-я общеобразовательная школа г. Архангельска) Максим Аренсон поступил на физико-математический факультет педагогического института. Закончить учебу ему не удалось, так как после смерти отца он вынужден был зарабатывать деньги на содержание семьи.
В 20-е годы Максим Михайлович играл в симфоническом оркестре при Политуправлении Беломорского военного округа, а также в театрах, кинотеатрах, ресторанах. Мир музыки и секреты скрипичного искусства он постигал упорным трудом самостоятельно, не упуская возможности консультироваться у заезжих мастеров-скрипачей.
В 30-е годы Максим Михайлович руководил первым Архангельским джазовым оркестром, выступавшим в кинотеатре «Эдисон». Играл в симфоническом оркестре при Архангельском радиокомитете. Вместе с Максимом Аренсоном выступал его брат — флейтист Федор Аренсон, впоследствии артист коллектива Ленинградской филармонии под управлением Евгения Мравинского.
В 1938 г. четверо музыкантов из филармонического симфонического оркестра решили создать квартет, которому впоследствии было присвоено имя Н. А. Римского-Корсакова.
Замечательный струнный квартет им. Н. А. Римского-Корсакова работал (с перерывом в годы войны) очень активно. Много гастролировал — от Карелии до Сахалина, на Кавказе и в Закарпатье. Участники квартета часто общались с композиторами.
В 1951 г. Максим Михайлович вынужден был выйти из состава квартета по состоянию здоровья. В годы Великой Отечественной войны он руководил оркестром Большого драматического театра, играл в составе трио в северной филармонии, участвовал в выступлениях ансамбля ресторана «Интурист». Проживающие в гостинице «Интурист» участники северных конвоев, наши союзники, американцы и англичане, тепло принимали выступления ансамбля и увозили с собой понравившиеся им мелодии, записанные музыкантами.
Максим Михайлович был награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне в 1941-1945 гг.» и значком «Отличник военно-шефской работы». В 50-е годы Максим Аренсон руководил эстрадным оркестром в кинотеатре «Север», который пользовался большим успехом у архангелогородцев.
Организовав любительский симфонический оркестр, Борис Князев пригласил Максима Михайловича стать его концертмейстером. В этом оркестре он работал до конца своей жизни.